不定积分用三种方法求

1. 不定积分用三种方法求

三种方法如图。经济数学团队帮你解答。请及时评价。谢谢！

2. 求不定积分

1、∫1/[1+√(2x)]  dx  题目提示是 第二类换元法
解：令t=√2x      x=t^2/2        dx=t dt
        ∫ 1 / [1+√(2x)]  dx  =∫ t / (1+t)  dt
                                    =∫ 1 - 1 / (1+t)  dt
                                    =∫ 1 dt  -  ∫  1 / (1+t)  dt
                                    =t  -   ln (1+t)  +  C
         将t=√2x 代入其中，得： ∫ 1 / [1+√(2x)]  dx  = √2x  -  ln (1+√2x )   +   C

2、 ∫1/[1+√(1-x^2)]  dx 题目提示是 第二类换元法
解：令x= sin t      dx=cost dt
       ∫ 1 / [1+√(1-x^2) ]  dx  = ∫  cost  / (1+cost) dt
                                         = ∫  [1 - 1 / (1+cost) ]  dt
                                         = ∫  1 dt - ∫ 1 / (1+cost)  dt
                                         = t - ∫ 1 / cos(t/2)^2  d(t/2)
                                         = t - tan(t/2) + C
       将x= sint代入其中，得：∫ 1 / [1+√(1-x^2) ]  dx   = arcsinx - x / (1+ √(1-x^2) )+ C
3、∫cos ln x  dx 题目提示用分部积分法
解：令A=∫ cos ln x  dx ，则：
    A=∫ cos ln x  dx 
         =x cos ln x - ∫ x d(cos ln x)
         =x cos ln x + ∫ x sin ln x (1/x) dx
         =x cos ln x + ∫ sin ln x  dx
         =x cos ln x +x sin ln x - ∫ x d(sin ln x)
         =x cos ln x +x sin ln x - ∫ x cos ln x (1/x) dx
         =x cos ln x +x sin ln x - A
      得A=(x cos ln x +x sin ln x ) / 2
4、∫  (x^5+x^4-8)/(x^3-x)  dx
解：∫  (x^5+x^4-8) / (x^3-x)  dx
     = ∫ (x^5+x^4-8) dx/(x^3-x)
     = ∫ (x^5 - x^3 + x^4 - x^2 + x^3 - x + x^2 + x-8) dx/(x^3-x）
   = ∫ (x^2 + x + 1) dx + ∫ (x^2 + x - 8) dx/(x^3-x) 
     = x^3/3 + x^2/2 + x + ∫ (x^2+x) dx/(x^3-x) - ∫ 8 dx/(x^3-x) 
     = x^3/3 + x^2/2 + x + ∫ dx/(x-1) - 8 ∫ dx / [x(x-1)(x+1)]
     = x^3/3 + x^2/2 + x + ln(x-1) + 4 ∫ dx / x(x-1)] - 4 ∫ dx / [x(x+1)]
     = x^3/3 + x^2/2 + x + ln(x-1) + 4∫ dx / (x-1) - 4 ∫ dx / x - 4∫ dx/x + 4∫ dx(x+1)                                =x^3/3 + x^2/2 + x + 5ln(x-1) - 5lnx + 4ln(x+1) + C
5、∫ dx/ [x(x^2+1)]
解：∫ dx/ [x(x^2+1)]
      = ∫ 1/x - x / (x^2+1) dx
      = ln x - ∫ x / (x^2+1) dx
      = ln x - 1/2 ∫ 1 / (x^2+1) d(x^2+1)
      = ln x - 1/2 ln(x^2+1) + C
6、∫ sin x / [(3+cos x)^2]  dx
解：∫ sin x / [(3+cos x)^2]  dx
     = - ∫1 / [(3+cos x)^2]  d(3+cos x)
     = 1 / (3+cosx)  + C
7、∫  dx/(3+cos x）
解:  令t=tanx/2       x=2arctant      dx=2/（1+t^2）dt          
     ∫  dx / (3+cos x）             （注：cosx=[1- tan(x/2)^2]/[1+ tan(x/2)^2]   )
   = ∫ 1 / [3 + (1-t^2)/(1+t^2)] [2/(1+t^2)] dx
   = ∫ dt / (2+t^2)
   = (1/√2) ∫ d(t/√2) / [1+(t/√2)^2] 
   = (1/√2) arctan(t/√2) + C
将t=tanx/2代入其中，得：∫  dx / (3+cos x）= (1/√2) arctan[tan(x/2) / √2)] + C

3. 求不定积分有什么技巧吗

技巧有很多，大致来说有下面几点。

一、简单的积分：
       就是五个基本积分公式的运用，ax^n，sinx，cosx，lnx，e^x。
       另外加上两个反三角函数的导数的反向运用：arcsinx，arctanx。
     
二、复杂的积分：
       1、分部积分(很有技巧性)；
       2、有理分式分解(技巧性并不大，但是很繁杂，很需要耐心)；
             分解的方式：代入法、比较系数法、长除法、、、、、
                                  （有些方法，国内没有介绍，也没有对应的汉译）
       3、变量代换---要根据被积函数的特点，转换成对应的代换形式：
             (a)、 凑微分法，这在国内甚嚣尘上，国际上并不流行；
             (b)、 正弦、余弦代换；
             (c)、 正切、余切代换；
             (d)、 正割、余割代换；
             (e)、 正切半角代换，国内的夸张说法是《万能代换》，其实远不万能；
             (f)、  余弦半角、倍角公式代换；
             (g)、 三角恒等代换，用得最多的是(sinx)^2+(cosx)^2 = 1；
             (h)、 倒数代换，我们刻意含糊其辞，说成倒代换；
             (i)、   根式代换；
             (j)、   虚数代换；
             、、、、、、、、、、、、、、

具体如何运用，一一细述，就是一本厚书。
欢迎追问。

4. 不定积分怎么算？

令x=tant，则dx=sec^2tdt
原式=∫(tant*e^t)/sec^3t*sec^2tdt
=∫sint*e^tdt
=∫sint*d(e^t)
=sint*e^t-∫e^t*costdt
=sint*e^t-∫cost*d(e^t)
=sint*e^t-cost*e^t-∫e^t*sintdt
即∫sint*e^tdt=e^t*(sint-cost)/2+C
原式=e^(arctanx)*[(x-1)/√(1+x^2)]+C，其中C是任意常数

5. 不定积分

新年好！Happy New Year ！

是的，千真万确！

1、不定积分有两个含义：
      第一、积分区间的不定；
      第二，积分结果的函数形式不定，但是可以互化。
      不定积分 = Indefinite Integral

2、积分结果的函数形式不定的原因：
      第一、由于有大量的恒等式，尤其是三角函数的恒等式出现所导致；
      第二、由于积分常数的出现，从积分常数中拿出部分，可形成无穷多的结果。

3、举例如下：（若看不清楚，请点击放大）

6. 不定积分dt

换元法
令√t=x
t=x^2
t=0,x=0
t=1,x=1
dt=2xdx
原式=∫[0,1] 2xdx/(1+x)
=2∫[0,1] x(1+x)dx
=2∫[0,1] (x+1-1)/(1+x)dx
=2∫[0,1] [1-1/(1+x)]dx
=2[x-ln(1+x)] [0,1]
=2-2ln2

7. 不定积分___。

?
41张
不定积分?[bù dìng jī fēn]?
在微积分中，一个函数f?的不定积分，或原函数，或反导数，是一个导数等于f?的函数?F?，即F?′ =?f。不定积分和定积分间的关系由微积分基本定理确定。其中F是f的不定积分。根据牛顿——莱布尼兹公式，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。
中文名
不定积分
外文名
indefinite integral
类型
概念
类别
高等数学
符号
∫
性质
1、函数的和的不定积分等于各个函数的不定积分的和；即：设函数
???
及
??
的原函数存在，则
?
2、求不定积分时，被积函数中的常数因子可以提到积分号外面来。即：设函数
???
的原函数存在，
???
非零常数，则
?

8. 关于不定积分的所有公式

你要的是数学手册吧。不可能有关于不定积分的所有公式，而且也没有用。只能说有些方法技巧，比较难的如Euler变换，用于求有理式中含有二次三项式的平方根的不定积分。很多初等函数的积分是超越函数，它们就是定义了，根本没有公式。总之，求导是有一些纯粹机械的公式套路的，但积分没有，需要自己体会。你买本数学手册吧，初等的不定积分公式里面很多。