有关函数的单调性与奇偶性

1. 有关函数的单调性与奇偶性

+1或-1

由奇函数定义，f(-x)=-f(x)解方程得来 

注意a=-1时函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）在这个定义域上函数为奇函数，因此a=-1是满足条件的，不要漏解

2. 函数的奇偶性和单调性？

奇偶性就是看函数的图像是关于y轴对称（偶函数），即f(x)=f(-x)；还是关于原点对称（奇函数）, 即-f(x)=f(-x)。
单调性是指函数图像在某个区间是随x的增加递增还是递减。


不知道解释得够不够清晰，可以追问

3. 函数的单调性与奇偶性

最简单的方法使用导数来区别
步骤：
奇偶性：
        1.先看定义域是否关于原点对称
        2.如果不是关于原点对称,则函数没有奇偶性
        3.若定义域关于原点对称
        4.则f(-x)=f(x),f(x)是偶函数 
        5.f(-x)=-f(x),f(x)是奇函数    
单调性：
        1.先在区间上取两个值,一般都是X1、X2 设X1＞X2（或者X1＜X2）
        2.把X1、X2代进去f(x)解析式做差 也就是f(X1)-f(X2)
        3.关化简,化成乘或除的形式
        4.若满足 f(X1)-f(X2)＞0则是增函数

4. 函数单调性与奇偶性的综合应用

令x=t+2 代入f(x-4)=-f(x)得  f（t+2-4）=-f（t+2）
  即f（t-2）=-f（t+2）
  又f（x）是奇函数  f（t-2）=-f（2-t）
 所以 -f（t+2）=-f（2-t） 即   f（2+t）=f（2-t）（1）式
 即直线x=2是f（x）对称轴

 接下来画图就可以说明  显然奇函数f（0）=0  
 也可简单算得 f（-4）=-f（0）=0  f（x）以8为周期 f（-8）=0
 f（4）=0  f（8）=0 
 画图  先画[0,2]一段 可以任意画一段 只要满足增函数即可 注意f（0）=0
 再根据x=2是对称轴画[2,4]段 
 在根据f（x）是奇函数  图像关于原点对称 画[-4,0]那段
 再根据x=2是对称轴   画[4,8]段  其和[0,-4]段关于x=2对称
 最后根据原点对称画[-8,-4]段

 画完后你会发现 要求f(x)=m(m>0) 的解 就是求y=m（m>0）与f（x）的交点
 根据图你可以得到 共有四个交点  其中两个在区间（-8，-4）关于x=-6对称   另外两个在区间（0，4）关于x=2对称
 所以x1+x2+x3+x4=2*（-6）+2*2=-8

参考以下:
f（x）为奇函数，f（0）=0，
f（x-4）=-f（x），f(4)=0,
f(x-8)=-f（x-4）=f（x），所以f（x）是周期为8的函数，f（8）=0。
在区间【0，2】上是增函数，那么在此区间f(x)>0，根据f（x-4）=-f（x），
在区间【4，8】f(x)<0。

f（x-4）=-f（x），f（x）为奇函数，那么f(x)=f(4-x).

f(x)=m在区间【-8，8】上有4个不同的根,设两个正根x1，4-x1，那么两个负根根据周期8为x1-8，4-x1-8。则x1+x2+x3+x4=-8。

5. 函数的奇偶性和单调性

函数类别                          奇偶性                     单调性                                特殊点 
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正比例函数（y=kx）         奇函数                     k＞0，单调增                     过原点（0,0）
k＜0，单调减
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一次函数（y=kx+b）          b=0时，奇函数       k＞0，单调增                     与y轴交点（0，b）
b≠0时，非奇非偶    k＜0，单调减                    与x轴交点（-b/k，0）
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二次函数（y=ax²+bx+c）   b=0，偶函数           在R上无单调增            与x轴的交点（与△有关）
b≠0，非奇非偶        或单调减                           与y轴的交点（0，c）
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反比例函数（y=k/x）          奇函数                   k＞0，同个象限内单调增     无（x，y均不等于0）
k＜0，同个象限内单调减

6. 函数的单调性与奇偶性?

⒈ 增函数与减函数
定义：对于函数f(x)的定义域I内某个区间
上的任意两个自变量的值x1,x2.
⑴若当x1<x2时，都有f(x1)<(fx2),则说f(x)
在这个区间上是增函数（如图3）；
⑵若当x1(fx2),则说f(x) 
在这个区间上是减函数（如图4）.
说明：函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的.有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数.例如函数y=x2（图1），当x∈[0,+ )时是增函数，当x∈(- ,0)时是减函数.
⒉ 单调性与单调区间
若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.
在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.
说明：⑴函数的单调区间是其定义域的子集；
⑵应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数），例如，图5中，在x1,x2那样的特定位置上，虽然使得f(x1)<(fx2)，但显然此图象表示的函数不是一个单调函数；
⑶除了严格单调函数外，还有不严格单调函数，它的定义类似上述的定义，只要将上述定义中的“f(x1)(fx2) ”改为“f(x1) (fx2) 或f(x1) (fx2)”即可；
⑷定义的内涵与外延：内涵是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况；外延：①一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相对时是单调递减. ②几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函
数，图象下降则为减函数.
偶函数与奇函数
定义：对于函数f(x)的定义域内任意一个值x，
⑴若f(-x)=f(x)恒成立，则函数y=f(x)就叫做偶函数；
⑵若f(-x)=-f(x)恒成立，则函数y=f(x)就叫做奇函数.
例如，函数f(x)=x2+1，f(x)=|x|，f(x)=x4-4等都是偶函数；函数f(x)=x，f(x)=1/x等都是奇函数.
若函数f(x)是奇函数或偶函数，则说函数f(x)具有奇偶性.
说明：⑴定义中的等式f(-x)=f(x)（或f(-x)=-f(x)）对定义域里的任意x都要成立，若只对个别x值成立，则不能说这函数是偶函数（或奇函数）；⑵等式f(-x)=f(x)（或f(-x)=-f(x)）成立，除了表明函数值相等（或互为相反数）外，首先表明对定义域中的任意x来说，-x也应在定义域之中，否则f(-x)无意义；⑶奇函数和偶函数的定义域必定是关于原点对称的，由此得结论：凡是定义域不关于原点对称的函数一定是非奇、非偶的函数.

7. 函数的单调性和奇偶性的概念

奇偶性
  1．定义
  一般地,对于函数f(x)
  （1）如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数.
  （2）如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数.
  （3）如果对于函数定义域内的任意一个x,f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立,那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数,称为既奇又偶函数.
  （4）如果对于函数定义域内的任意一个x,f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立,那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数,称为非奇非偶函数.
  说明：①奇、偶性是函数的整体性质,对整个定义域而言
  ②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称,如果一个函数的定义域不关于原点对称,则这个函数一定不是奇（或偶）函数.
  （分析：判断函数的奇偶性,首先是检验其定义域是否关于原点对称,然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x)比较得出结论）
  ③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义
  2．奇偶函数图象的特征：
  定理 奇函数的图象关于原点成中心对称图表,偶函数的图象关于y轴或轴对称图形.
  f(x)为奇函数《＝＝》f(x)的图像关于原点对称
  点（x,y）→（-x,-y）
  奇函数在某一区间上单调递增,则在它的对称区间上也是单调递增.
  偶函数 在某一区间上单调递增,则在它的对称区间上单调递减.
  单调性：
  一般地,设函数f(x)的定义域为I：
  如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1、x2时都有f(x1)< f(x2).那么就说f(x)在这个区间上是增函数.
  如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1f(x2).那么就是f(x)在这个区间上是减函数.
  如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数.那么就说函说y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性,这一区间叫做y= f(x)的单调区间,在单调区间上增函数的图象是上升的,减函数的图象是下降的.
  注意：（1）函数的单调性也叫函数的增减性； 
  （2）函数的单调性是对某个区间而言的,它是一个局部概念； 
  （3）判定函数在某个区间上的单调性的方法步骤：
  a.设x1、x2∈给定区间,且x1

8. 有关函数单调性和奇偶性的问题

f(x)=e^(-x)/a+a/e^(-x)= e^(-x)/a+ae^x
1) 假设f(x)为奇函数
 那么f(x)=-f(-x)=-[e^x/a+ae^(-x)]
即e^(-x)/a+ae^x=-[e^x/a+ae^(-x)]
化简1+a^2=-(1+a^2)
得a^2=-1 
a属于R,所以假设不成立 即f(x)不可能为奇函数
2）当a=1时，f(x)= e^(-x)+e^x
f’(x)=-e^(-x)+e^x=e^x[1-e^(-2x)]
根据指数函数性质：e^x>0
当-2x>0 即x1,1-e^(-2x)<0 
即f’(x)<0,函数f(x)为单调减函数
当-2x0时 e^(-2x)0 
即f’(x)>0,函数f(x)为单调增函数 
（因为不了解是否学过导数，下面用初等方法证明）
取x1,x2∈(0,+∞)，设x2>x1
f(x2)-f(x1)=e^x2-e^x1+(1/e^x2)-(1/e^x1)
           =(e^x2-e^x1)[1-1/(e^x2·e^x1)]
因为 e^x是R上的增函数，所以e^x2-e^x1>0
因为 x1>0,x2>0,∴1-1/(e^x2·e^x1)>0
于是 f(x2)>f(x1)
这就证明了f(x)在（0，+∞)上是增函数 
同理可证在(-无穷,0)上也是增函数.