股票价格符合普通布朗运动,推导B-S稍微分方差式

1. 股票价格符合普通布朗运动,推导B-S稍微分方差式

一、微积分部分

若

 ~
 ，那么

Y服从正态分布，X服从对数正态分布
显然，

 ，

对X取期望，以及计算X的2阶原点矩


[1]
令

 ，那么

同理，二阶矩为


可以得到


二、几何布朗运动和伊藤引理的运用

由于股票价格变动服从几何布朗运动，所以

 ，
 且
 ~

令

 ，根据伊藤引理得到，

[2]
因此，

 ~

三、求




同上第一部分，令

 ，那么



在第一部分中，可以得到这样一个等式【摘要】
股票价格符合普通布朗运动,推导B-S稍微分方差式【提问】
一、微积分部分

若

 ~
 ，那么

Y服从正态分布，X服从对数正态分布
显然，

 ，

对X取期望，以及计算X的2阶原点矩


[1]
令

 ，那么

同理，二阶矩为


可以得到


二、几何布朗运动和伊藤引理的运用

由于股票价格变动服从几何布朗运动，所以

 ，
 且
 ~

令

 ，根据伊藤引理得到，

[2]
因此，

 ~

三、求




同上第一部分，令

 ，那么



在第一部分中，可以得到这样一个等式【回答】
B-S-M期权定价公式推导
方法1：（一般性）

如果看懂了前言，那剩下部分就能很好的推导出B-S-M期权定价公式了

以不付息欧式看涨期权为例，


 ，


方法2：（伊藤引理-构建无风险组合-B-S-M微分方程求解）

第二部分中令

，现在期权的定价是和标的股票的价格和时间均相关，因此令
 ，运用伊藤引理得到

若在一个很小的时间间隔

 中，

可以构建一个一单位衍生证券空头和

 单位证券多头组合，
 代表投资组合价值

 时间后，

由于不存在波动项，本质是一个无风险组合，

 ，最后可以得到B-S-M微分方程

求解微分方程得到


 ，

方法3：（蒙特卡洛模拟）

B-S-M期权定价的缺陷
BS模型的假设在现实中【回答】