几何布朗运动

1. 几何布朗运动

一、正态随机变量概率密度函数描述：
 (μ为总体均数、σ为标准差）
 
二、布朗运动的数学描述：
价格时间函数P(x），T+t时刻的价格P(T+t)与T时刻价格P(T)的差值：P(T+t)-P(T)是一个正态随机变量，分布的平均期望值μt，标准差为。（T>0，t>0)
重大缺陷：
1、按此价格理论上可有负值，但实际中价格不可能存在负值。
2、不论价格初值为何值，固定时间长度的价格差具有相同的正态分布，不符合常理。
 
三、几何布朗运动：
把价格差改为价格的涨跌幅：可以避免直接使用布朗运动描述价格的缺陷，即为几何布朗运动。
  是一个正态随机变量，分布的平均期望值μt，标准差为。（T>0，t>0)
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几何布朗运动
几何布朗运动的作用是用来模拟股价的变动。它的好处在于，一般形式布朗运动中取值可能为负数，而几何布朗运动取值永远不小于0，这一点符合股价永远不为负的特征。
几何布朗运动微分形式的表述。或者称SDE（随机微分方程）形式：

其中的S(t)可以理解为股价。
几何布朗运动函数形式表述：

上述式子告诉我们，可以先生成一服从的一般形式布朗运动，然后求其指数函数，最后乘以S(0)，即期初的股价，就可以得到几何布朗运动。
补充：为何这里t的系数多出一项？具体可以参考伊藤公式。 



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2. 请问如何用R语言做大量次数的几何布朗运动的模拟（参数μ，σ已知）

这上网搜应该搜的到吧，比如这篇文章"
股票价格行为关于几何布朗运动的模拟--基于中国上证综指的实证研究
",照着几何布朗运动的公式直接写代码应该就行了吧，代码逻辑都很清晰。

下面是照着这片文章模拟一次的代码，模拟多次的话，外面再套个循环应该就行了。然后再根据均方误差(一般用这个做准则的多)来挑最好的。
话说你的数据最好别是分钟或者3s切片数据，不然R这速度和内存够呛。
N <- 2000 #模拟的样本数
S0 <- 2000 #初始值
mu <- 0.051686/100
sigma <- 1.2077/100
St <- rep(0,N)
epsion <- rnorm(N,0,1) #正态分布随机数
for(i in 1:N) {
if(i == 1) {
delta_St <- mu * S0 + sigma * S0 * epsion[i]
St[i] <- S0 + delta_St
}else {
delta_St <- mu * St[i-1] + sigma * St[i-1] * epsion[i]
St[i] <- St[i-1] + delta_St
}
}
Final_St <- c(S0,St) #最终结果
plot(Final_St,type = "l")

3. 我的题目是基于FBM的分形地形模拟研究，要求用matlab实现 用中点位移法

这种资源还是在百度或GOOGLE上搜一下，如果曾经有人在网上发布，或有网站下载，一般都会被搜索引擎收录；如果搜不到，你可以找一下相关的论坛，最好是那种人气比较高的论坛，注册会员，发帖求助，会有高手帮你的。

4. 研究衍生品的时候为什么用几何布朗运动来模拟股票价格的运行轨迹

其实很简单，GBM（至少在一定程度上）符合人们对市场的观察。例如，直观的说，股票的价格看起来很像随机游走，再例如，股票价格不会为负，这样起码GBM比普通的布朗运动合适，因为后者是可以为负的。

再稍微复杂一点，对收益率做测试（ S(t)/S(t-1) - 1）做测试，发现，哎居然还基本是个正态分布。收益率是正态的，股价就是GBM模型

总之，就是大家做了很多统计测试，发现假设成GBM还能很好的逼近真实数值，比较接近事实。所以就用这个。

其实将精确的数学模型应用到金融的时间非常短。最早是1952年的Markowitz portfolio selection. 那个其实就是一个简单的优化问题。后来的CAPM APT等诸多模型，也仅仅研究的是一系列证券，他们之间回报、收益率以及其他影响因素关系，没有涉及到对股价运动的描述。

第一次提出将股价是GBM应用在严格模型的是black-scholes model 。在这个模型中提出了若干个假设，其中一个就是股价是GBM的。

5. 如何用Python 实现 几何布朗运动

可以考虑使用python+opencv，比源生的python自己编程转换要方便得多。另外一个选择就是用python自己的库：PILcolorsys.rgb_to_hsv

6. 几何布朗运动的均值函数怎么求

设布朗运动为B(t),布朗运动本身是正态分布,而且满足分布~N（0,t）.几何布朗运动是W（t）=exp（B（t））；这是一个很好的线性对应关系.所以均值就是（如图）

解这个简单的积分,就得到均值：exp（t/2）   顺便方差也求了吧：exp（2t）-exp(t)

7. 几何布朗运动是完全独立的离散过程吗

几何布朗运动只是模型，是 exp{Bt }这样的形式。你用模型什么事是关键，确定参数，在英文中叫calibration.
如果你是用 geometric brownian motion 去模型options, 这样的东西，是关系你的模型本身，比如black-scholes模型，关于它的参数calibration，这样的技术其实已经很完备，经典的金融数学教科书上都有的，其主要是根据市场上option的价格反推出模型的参数的。

8. 几何布朗运动和分数布朗运动有什么区别

几何布朗运动数值的随机改变，但改变方向的概率大小不同。
分数布朗运动是指实物粒子的不规则运动。
综上，几何布朗运动是布朗运动向其他领域的拓展，而分数布朗运动与布朗运动相近