时间序列的典型例子
2024-05-15
1. 时间序列的典型例子
时间序列的典型例子：BaseLevel+Trend+Seasonality+Error Additive time series: V a l u e = B a s e L e v e l + T r e n d + S e a s o n a l i t y + E r r o r Value = Base Level + Trend + Seasonality + Error Value=BaseLevel+Trend+Seasonality+Error 时期序列：由时期总量指标排列而成的时间序列 。 （一)绝对数时间序列 时期序列的主要特点有： 1）序列中的指标数值具有可加性。 2）序列中每个指标数值的大小与其所反映的时期长短有直接联系。 3）序列中每个指标数值通常是通过连续不断登记汇总取得的。 2. 时点序列：由时点总量指标排列而成的时间序列 时点序列的主要特点有： 1）序列中的指标数值不具可加性。 2）序列中每个指标数值的大小与其间隔时间的长短没有直接联系。 3）序列中每个指标数值通常是通过定期的一次登记取得的。 (二)相对数时间序列 把一系列同种相对数指标按时间先后顺序排列而成的时间序列叫做相对数时间序列。 (三)平均数时间序列 平均数时间序列是指由一系列同类平均指标按时间先后顺序排列的时间序列。
2. 时间序列模型简介
目录
时间序列是一列观测值 的集合, 其中每个观测值是在时段 观测所得( 是自然数 ). 给定时间序列 , 如果对任意的 , 它满足下列条件: i. ii. iii. 我们把它叫做(弱)平稳(weakly stationary)序列.(下文我们简称平稳序列.)
通俗地讲, 平稳序列的期望, 方差, 协方差不随时间变化 . 例如, 服从同一个分布时, 它是平稳的.
例1 下图中的时间序列由 生成. 从直观上看, 这个序列是"平稳的".
例2 下图的中的时间序列由 生成, 其中 , . 它起初有明显地增长, 然后趋于平稳. 利用ADF检验(详情见下文), 我们发现该序列是平稳的(p-value < 0.01).
Remark 弱平稳性的"弱"主要体现在时间序列在全局上是平稳的, 即，时间序列局部是波动的，但整体上看是平稳的, 或者随着时间的变化其样本的均值收敛.
我们用统计学中假设检验的方法来判断样本的平稳性. 常用的是Augmented Dickey-Fuller(ADF)检验 [1] .
在显著水平 的条件下, 我们可以通过计算p-value来接受或者拒绝 :
Python3中 statsmodels.tas.stattools 中的 adfuller 函数 [3] 实现了ADF检验. 使用方法如下所示.
前面之所以介绍平稳序列的概念及检验方法, 是因为它是很多基础的时间序列模型的前提假设. 在本节我们介绍一些常见的时间序列模型(更多内容可以参考 [4] , [5] ).
AR代表自回归(Autoregression). 假设时间序列 是平稳的, 它可以被表示成如下形式:
MA代表移动平均(Moving Average). 假设时间序列 是平稳的, 它可以被表示成如下形式:
ARMA模型是AR和MA的组合. 假设同上. 它可以被表示为如下形式:
ARIMA模型是ARMA模型的推广, 全称是Autoregressive Integrated Moving Average. 当时间序列 不满足平稳性时, 我们通常使用 差分 的技巧把序列变得平稳, 然后再应用ARMA模型.
参数 代表差分的阶数. 下面是差分的计算公式( 为差分算子):
例3 下图是原始的时间序列. 通过观察, 它的均值有明显的上升趋势且不收敛, 因此不是平稳序列(ADF检验的p-value为0.94).
对该序列进行一阶差分后, 我们得到如下平稳的时间序列(p-value为0.00).
该记号代表季节性(或周期性)ARIMA模型, 详细的表达式可以参考 [4] ( 4.1 Seasonal ARIMA models ), 其中
我们可以把它看成两阶段模型: 第一阶段在全局使用ARIMA(p,d,q); 第二阶段通过指定周期长度 , 再利用ARIMA(P,Q,D)模型考虑周期之间的关系.
例4 考虑如下周期性的平稳时间序列( ).
对序列进行周期性差分: 得到新的时间序列 如下图所示(红色部分)
通过使用周期性差分, 我们可以把原有时间序列的周期性移除. 同理, 通过采用周期性的自回归和移动平均系数, 我们可以把周期之间的依赖关系考虑进模型.
例5 考虑周期s=18的数据(蓝色曲线). 用 和 分别进行预测的结果如下.
不考虑周期性的ARIMA模型的预测结果(灰色曲线)逐渐收敛到时间序列的均值. 由于序列是平稳的, 这样的预测结果符合我们的期望. 考虑到该时间序列有比较强的周期性, 且通过观察发现周期 . 在本例中, 我们仅使用周期差分, 最终得到了如图所示(红色曲线)的周期性预测结果.
ARCH的全称是Autoregressive Conditionally Heteroscedasticity, 它可以用来考虑样本的方差随着时间变化(或震荡)的时间序列. 设时间序列 是平稳的, 模型可以被表示成如下形式:
其中
GARCH即Generalized ARCH, 是ARCH模型的推广 [6] . 设时间序列 是平稳的, 模型可以被表示成如下形式: 其中
Remark ARCH/GARCH随机过程产生的数据是什么样的? 前面提到它们允许 样本的方差 随时间变化, 但是由于 必须满足平稳性(前提假设), 因此样本的方差从局部看是变化(震荡)的, 但从整体看应该是"平稳的"序列. 例如下图是一个 过程生成的时间序列( ).
VAR即Vector Autoregression, 它是多变量的自回归模型. 类似地, 我们有 , 它是 的向量版本. 需要注意的是, VARMA模型处理的时间序列可以有趋势. 我们不做详细的展开, 感兴趣的读者可以参考 [4] 章节11.2: Vector Autoregressive models VAR(p) models .
给定时间序列的观测样本, 选定预测模型之后如何确定模型的参数? 本节我们介绍两种常用的方法: 1. 画出ACF/PACF图, 然后观察出 的值; 2. 通过计算相关的统计指标, 自动化地选择参数.
ACF的全称是Autocorrelation Function. 对变量 , ACF的值代表 与 之间的相关性.
PACF的全称是Partial Autocorrelation Function. 对变量 , PACF的值代表已知 的条件 下, 与 之间的相关性.
例6 设 . 考虑下面三个模型生成的时间序列, 并计算相应的ACF/PACF.
基本思想是通过计算一些指标, 并选择参数使得相关的指标值尽可能小. 下面我们介绍一些常用的指标.
为方便描述, 我们先定义一些记号.
(AIC的改良版, 解决小样本过拟合的问题)
(也称为Schwartz Criterion, SBC, SBIC)
Remark 建议在实际中综合考虑这些指标.
Python3 code on Github
3. 时间序列建模分析
时序数据的特点：
1.时间序列数据依赖于时间，但不一定是时间的严格函数。
2.时间序列数据每时刻上的值具有一定的随机性，不可能完全准确地用历史值去预测。
3.时间序列数据前后时刻（但不一定是相邻时刻）的数值往往具有相关性。
4.从整体上看，时间序列往往会呈现出某种趋势性或出现周期性变化的现象。
分类：
按研究对象分类：一元时间序列和多元时间序列。
按时间参数分类：离散时间序列和连续时间序列。
按统计特性分类：平稳时间序列和非平稳时间序列。
按分布规律分类：高斯型时间序列和非高斯型时间序列
1.统计时序分析
1. 频域分析
2. 时域分析
2.平稳时间序列检验
什么是平稳时间序列？这就需要我们从概率统计的角度来定义。一般来讲，平稳时间序列有两种定义，分别是：严平稳时间序列和宽平稳时间序列。其中，严平稳要求序列所有的统计性质都不会随着时间的推移而发生变化。宽平稳则认为只要保证序列 [二阶矩]( https://en.wikipedia.org/wiki/Moment_(mathematics) 平稳，就代表序列稳定。显然，严平稳比宽平稳的条件严格。严平稳是对序列联合分布的要求，以保证序列所有的统计特征都相同。
关于序列平稳性的检验，一般有两种方法，分别是：图检验和假设检验。图检验是根据时序图和自相关图显示的特征作出判断，因其操作简便而运用广泛。简单来讲，如果一张时序图呈现出明显的增长和下降趋势，那么就一定不平稳。
3.自相关图
4.纯随机性检验
怎样判断一个平稳序列是否随机呢？这就会用到纯随机性检验。纯随机性检验的过程中，一般会涉及到两个统计量，分别是：Q 统计量和 LB 统计量（Ljung-Box）。但由于 LB 统计量是 Q 统计量的修正，所以业界通常所称的 Q 统计量也就是 LB 统计量。
Python 中，我们可以利用 statsmodels 统计计算库中的 acorr_ljungbox() 函数计算 LB 统计量，该函数默认会返回 LB 统计量和 LB 统计量的 P 值。如果 LB 统计量的 P 值小于 0.05，我们则认为该序列为非随机序列，否则就为随机序列。
5.ARMA介绍及建模
ARMA 模型的全称是自回归移动平均模型，它是目前最常用的拟合平稳序列的模型。ARMA 模型一般又可以被细分为 AR 自回归模型，MA 移动平均模型和 ARMA 三类。
4. 时间序列-建模步骤
建立时间序列模型通常包括三个步骤：
一、模型的识别 ARMA过程的自相关函数和偏自相关函数
二、模型参数的估计
三、模型的诊断与检验
四、案例
参考资料： 时间序列的平稳性及其检验
5. 时间序列分析模型——ARIMA模型
姓名：车文扬 学号：16020199006
【嵌牛导读】：什么是 ARIMA模型
【嵌牛鼻子】： ARIMA
【嵌牛提问】： ARIMA模型可以具体应用到什么地方？
【嵌牛正文】：
一、研究目的
传统的经济计量方法是以经济理论为基础来描述变量关系的模型。但经济理论通常不足以对变量之间的动态联系提供一个严密的说明，而且内生变量既可以出现在方程的左端又可以出现在方程的右端使得估计和推断变得更加复杂。为了解决这些问题而出现了一种用非结构方法来建立各个变量之间关系的模型，如向量自回归模型（vector autoregression,VAR）和向量误差修正模型（vector error correction model,VEC）。
在经典的回归模型中，主要是 通过回归分析来建立不同变量之间的函数关系（因果关系），以考察事物之间的联系 。本案例要讨论如何 利用时间序列 数据本身建立模型，以研究事物发展自身的规律 ，并据此对事物未来的发展做出预测。研究时间序列数据的意义：在现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。在现实中很多问题，如利率波动、收益率变化、反映股市行情的各种指数等通常都可以表达为时间序列数据，通过研究这些数据，发现这些经济变量的变化规律（对于某些变量来说，影响其发展变化的因素太多，或者是主要影响变量的数据难以收集，以至于难以建立回归模型来发现其变化发展规律，此时，时间序列分析模型就显现其优势——因为这类模型不需要建立因果关系模型，仅需要其变量本身的数据就可以建模），这样的一种建模方式就属于时间序列分析的研究范畴。而时间序列分析中，ARIMA模型是最典型最常用的一种模型。
二、ARIMA模型的原理
1、ARIMA的含义。 ARIMA包含3个部分，即AR、I、MA。AR——表示auto regression，即自回归模型；I——表示integration，即单整阶数，时间序列模型必须是平稳性序列才能建立计量模型，ARIMA模型作为时间序列模型也不例外，因此首先要对时间序列进行单位根检验，如果是非平稳序列，就要通过差分来转化为平稳序列，经过几次差分转化为平稳序列，就称为几阶单整；MA——表示moving average，即移动平均模型。可见，ARIMA模型实际上是AR模型和MA模型的组合。
ARIMA模型与ARMA模型的区别：ARMA模型是针对平稳时间序列建立的模型。ARIMA模型是针对非平稳时间序列建模。换句话说，非平稳时间序列要建立ARMA模型，首先需要经过差分转化为平稳时间序列，然后建立ARMA模型。
2、ARIMA模型的原理。 正如前面介绍，ARIMA模型实际上是AR模型和MA模型的组合。
AR模型的形式如下：
其中：参数为常数，是阶自回归模型的系数；为自回归模型滞后阶数；是均值为0，方差为的白噪声序列。模型记做——表示阶自回归模型。
MA模型的形式如下：
其中：参数为常数；参数是阶移动平均模型的系数；为移动平均模型滞后阶数；是均值为0，方差为的白噪声序列。模型记做——表示阶移动平均模型。
ARIMA模型的形式如下：
模型记做。为自回归模型滞后阶数，为时间序列单整阶数，为阶移动平均模型滞后阶数。当时，，此时ARIMA模型退化为MA模型；当时，，ARIMA模型退化为AR模型。
3、建立ARIMA模型需要解决的3个问题。 由以上分析可知，建立一个ARIMA模型需要解决以下3个问题：
（1）将非平稳序列转化为平稳序列。
（2）确定模型的形式。即模型属于AR、MA、ARMA中的哪一种。这主要是通过 模型识别 来解决的。
（3）确定变量的滞后阶数。即和的数字。这也是通过 模型识别 完成的。
4、ARIMA模型的识别
ARIMA模型识别的工具为自相关系数（AC）和偏自相关系数（PAC）。
自相关系数： 时间序列滞后k阶的自相关系数由下式估计：
其中是序列的样本均值，这是相距k期值的相关系数。称为时间序列的自相关系数，自相关系数可以部分的刻画一个随机过程的形式。它表明序列的邻近数据之间存在多大程度的相关性。
偏自相关系数： 偏自相关系数是在给定的条件下，之间的条件相关性。其相关程度用偏自相关系数度量。在k阶滞后下估计偏自相关系数的计算公式为：
其中是在k阶滞后时的自相关系数估计值。称为偏相关是因为它度量了k期间距的相关而不考虑k-1期的相关。如果这种自相关的形式可由滞后小于k阶的自相关表示，那么偏相关在k期滞后下的值趋于0。
识别：
AR(p) 模型 的自相关系数是随着k的增加而呈现指数衰减或者震荡式的衰减，具体的衰减形式取决于AR(p)模型滞后项的系数；AR(p)模型的偏自相关系数是p阶截尾的。因此可以通过识别AR(p)模型的偏自相关系数的个数来确定AR(p)模型的阶数p。
MA(q) 模型 的自相关系数在q步以后是截尾的。MA(q)模型的偏自相关系数一定呈现出拖尾的衰减形式。
ARMA(p,q) 模型 是AR(p)模型和MA(q)模型的组合模型，因此ARMA(p,q)的自相关系数是AR(p)自相关系数和MA(q)的自相关系数的混合物。当p=0时，它具有截尾性质；当q=0时，它具有拖尾性质；当p,q都不为0，它具有拖尾性质。
通常，ARMA(p,q)过程的偏自相关系数可能在p阶滞后前有几项明显的 尖柱 ，但从p阶滞后项开始逐渐趋于0；而它的自相关系数则是在q阶滞后前有几项明显的 尖柱 ，从q阶滞后项开始逐渐趋于0。
三、数据和变量的选择
本案例选取我国实际GDP的时间序列建立ARIMA模型，样本区间为1978—2001。数据来源于国家统计局网站上各年的统计年鉴，GDP数据均通过GDP指数换算为以1978年价格计算的值。见表1：
表1：我国1978—2003年GDP（单位：亿元）
年度GDP年度GDP年度GDP
19783605.6198610132.8199446690.7
19794074198711784.7199558510.5
19804551.3198814704199668330.4
19814901.4198916466199774894.2
19825489.2199018319.5199879003.3
19836076.3199121280.4199982673.1
19847164.4199225863.7200089340.9
19858792.1199334500.7200198592.9
四、ARIMA模型的建立步骤
1、单位根检验，确定单整阶数。
由单位根检验的案例分析可知，GDP时间序列为2阶单整的。即d=2。通过2次差分，将GDP序列转化为平稳序列 。利用序列来建立ARMA模型。
2、模型识别
确定模型形式和滞后阶数，通过自相关系数（AC）和偏自相关系数（PAC）来完成识别。
首先将GDP数据输入Eviews软件，查看其二阶差分的AC和PAC。打开GDP序列窗口，点击View按钮，出现下来菜单，选择Correlogram（相关图），如图：
打开相关图对话框，选择二阶差分（2nd difference），点击OK，得到序列的AC和PAC。（也可以将GDP序列先进行二阶差分，然后在相关图中选择水平（Level））
从图中可以看出，序列的自相关系数（AC）在1阶截尾，偏自相关系数（PAC）在2阶截尾。因此判断模型为ARMA模型，且，。即：
3、建模
由以上分析可知，建立模型。首先将GDP序列进行二次差分，得到序列。然后在Workfile工作文件簿中新建一个方程对话框，采用 列表法 的方法对方程进行定义。自回归滞后项用ar表示，移动平均项用ma表示。本例中自回归项有两项，因此用ar(1)、ar(2)表示，移动平均项有一项，用ma(1)表示，如图：
点击确定，得到模型估计结果：
从拟合优度看，，模型拟合效果较好，DW统计量为2.43，各变量t统计量也通过显著性检验，模型较为理想。对残差进行检验，也是平稳的，因此判断模型建立正确。
6. 时间序列分析
在R中生成时间序列的前提是我们将分析对象转成时间序列函数对象，包括观测值、起始时间、种植时间、及周期（月、季度、年）的结构。这些都能通过ts( )函数实现。
R语言中，对时间序列数据进行分析处理时，使用差分函数要注意：差分函数diff()不带参数名的参数指滞后阶数，也就是与滞后第几阶的数据进行差分。如果要指定差分的阶数，则一定要使用带名称的参数:diff=2。
例如： sample表示样本数据。
1、diff(sample,2)表示是对滞后2阶的数据进行差分，一阶差分，等同于： diff(sample,lag=2)
2、diff(sample,diff=2)才是表示二阶差分
意：在函数中尽量避免使用没有命名的参数。在《时间序列分析及应用-R语言（第2版）》中，P315，描述到： 我们得到的教训就是，除非完全了解相关参数的位置，否则使用未命名参数是非常危险的。
截尾是指时间序列的自相关函数（ACF）或偏自相关函数（PACF）在某阶后均为0的性质（比如AR的PACF）；
拖尾是ACF或PACF并不在某阶后均为0的性质（比如AR的ACF）。
拖尾 ：始终有非零取值，不会在k大于某个常数后就恒等于零(或在0附近随机波动)
截尾 ：在大于某个常数k后快速趋于0为k阶截尾
AR模型：自相关系数拖尾，偏自相关系数截尾；
MA模型：自相关系数截尾，偏自相关函数拖尾；
ARMA模型：自相关函数和偏自相关函数均拖尾。
根据输出结果， 自相关函数图拖尾，偏自相关函数图截尾 ，且n从2或3开始控制在置信区间之内，因而可判定为AR(2)模型或者AR(3)模型。
7. 时间序列分析
时间序列顾名思义即是通常在连续时间上采集的序列数据。例如股票指数数据、营收数据和天气数据等。时间序列分析是利用已知数据使用合适的模型拟合时间序列同时估算相应模型的参数。时间序列分析的模型与方法体现了我们对于时间序列自然属性的理解。同时这些模型方法也能够用于对时间序列进行预测和模拟。 与信号分析类似，时间序列分析的方法也有时间域和频率域的方法；有单变量和多变量方法；有线性方法和非线性方法；连续序列和离散序列。 一般时间序列可以依据变化特征分解为四个部分，即趋势（trend）、季节性（seasonal）、周期性（cyclical）和不规则（irregular）部分。 构建时间序列预测模型的一种重要是方法使用随机过程理论。这与地质统计的分析方法是相同的，只是分析对象不同：时间序列为时间点上的数据而地质统计为空间点上的数据。这里认为时间序列上的数据点为随机变量，整个时间序列为一个随机函数。描述不同时间点上的数据之间的关系，同样要使用自协方差、自相关函数。同时二者同样实在稳态假设之下进行分析，应用中也需要对于数据进行去除趋势等处理使之满足稳态条件。时间序列分析中的自回归模型（AR）相当于地质统计中的简单克里金。
8. 时间序列分解常用的模型有
关于时间序列分解常用的模型如下：如果除a0=1外所有其它的AR系数都等于零，则式（1-124）成为地球物理信息处理基础这种模型称为q阶滑动平均模型或简称为MA（q）模型（Moving Average Model），其系统函数（传输函数）为。 地球物理信息处理基础模型输出功率谱为地球物理信息处理基础或地球物理信息处理基础这是一个全零点模型，因为它只有零点，没有极点（除了原点以外）。如果模型的全部零点在单位圆内，则是一个最小相位系统，且模型是可逆的。如果除b0=1外所有其它的MA系数都等于零，则式（1-124）成为 地球物理信息处理基础这种模型称为p阶自回归模型或简称为AR（p）模型（Autoregressive Model），其传输函数为地球物理信息处理基础模型输出功率谱为地球物理信息处理基础或地球物理信息处理基础显然，该模型只有极点，没有零点（除了原点以外），因此这是一个全极点模型，而且只有当极点都在单位圆内时，模型才稳定。 设a0=1和b0=1，其余所有的ak和bk不全为零。在这种情况下，模型的差分方程、系统函数和输出功率谱分别用式（1-124）、式（1-123）和式（1-125）或式（1-126）表示。分子部分称为MA部分，而分母部分称为AR部分，这两部分分别满足稳定性和可逆性的条件。这是一个“极点—零点”模型，称为自回归滑动平均模型ARMA（p，q）模型（Autore-gressive Moving Average Model）。 在上面已谈到，实际中所遇到的功率谱可分为三种：一种是“平谱”，即白噪声谱，第二种是“线谱”，即由一个或多个正弦信号所组成的信号的功率谱，第三种介于二者之间，即既有峰点又有谷点的谱，这种谱称为ARMA谱。可以看出，AR模型能突出反映谱的峰值，而MA模型能突出反映谱的谷值。 沃尔德（Wold）分解定理阐明了上述三类模型之间的联系，即：任何广义平稳随机过程都可分解成一个可预测（确定）的部分和一个不可预测（完全随机）的部分。确定性随机过程是一个可以根据其过去的无限个取样值完全加以预测的随机过程。 例如，一个由纯正弦信号（具有随机相位以保证广义平稳）和白噪声组成的随机过程，可以分解成一个纯随机成分（白噪声）和一个确定性成分（正弦信号）。或者可以把这种分解看成为把功率谱分解成一个表示白噪声的连续成分和一个表示正弦信号的离散成分（具有冲激信号的形式）。 Wold分解定理的一个推论是：如果功率谱完全是连续的，那么任何ARMA过程（Au-toregressive Moving Average Process）或AR过程（Autoregressive Process）可以用一个无限阶的MA过程（Moving Average Process）表示。 Колмогоров（Kolmogorov）提出的一个具有类似结论的定理：任何ARMA或MA过程可以用一个无限阶的AR过程表示。这些定理很重要，因为如果选择了一个不合适的模型，但只要模型的阶数足够高，它仍然能够比较好地逼近被建模的随机过程。 估计ARMA或MA模型参数一般需要解一组非线性方程，而估计AR模型参数通常只需解一组线性方程，因此，AR模型得到了深入的研究和广泛应用。 如果被估计过程是p阶自回归过程，那么用AR（p）模型即能很精确地模拟它；如果被估计过程是ARMA或MA过程，或者是高于p阶的AR过程，那么用AR（p）模型作为它们的模型时，虽然不可能很精确，但却可以尽可能地逼近它，关键是要选择足够高的阶数。证明如下： 假设MA模型为地球物理信息处理基础对上式进行Z变换得到X（z）=B（z）W（z） 式中B（z）是MA信号模型的系统函数，或者说是bi（i=1，2，3，…）序列的Z变换。设MA信号模型满足可逆性条件，即B-1（z）的存在，令B-1（z）=G（z）=1+g1z-1+g2z-2+g3z-3+…这样X（z）G（z）=（1+g1z-1+g2z-2+g3z-3+…）X（z）=W（z） 则地球物理信息处理基础对上式进行Z反变换，得到x（n）+g1x（n-1）+g2x（n-2）+g3x（n-3）+…=w（n）上式就是x（n）的AR信号模型，因此证明了一个时间序列可以用有限阶MA信号模型表示时，也可以用无限阶的AR模型表示，对于ARMA模型也同样可以证明。
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